В равнобедренную трапецию с большим основанием а и углом 60 градусов , вписана окружность. Найдите меньшее основание трапеции.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанной окружности в трапецию. Если окружность вписана в трапецию, то сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. Обозначим через $a$ — длину большего основания, $b$ — длину меньшего основания, а боковые стороны, так как они равны, обозначим через $c$.

Дано:

• $a$ — длина большего основания,
• $\alpha = 60^\circ$ — угол при основании,
• $c$ — длины боковых сторон (они равны).

Требуется найти:

• Длину меньшего основания $b$.

Шаги решения:

1. Рассмотрим трапецию с вписанной окружностью: Так как окружность вписана в трапецию, то выполняется следующее свойство:

   $$a + b = 2c$$

   То есть сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

2. Рассмотрим треугольники около боковых сторон: В трапеции с углом при большем основании, равным $60^\circ$, у нас образуются два прямоугольных треугольника у основания с боковыми сторонами $c$ и меньшим основанием $b$.

3. Вычислим высоту трапеции: Опустим высоту из вершины, противолежащей большему основанию, на основание $a$. Она разделит трапецию на два прямоугольных треугольника у оснований.

   Высота $h$ этих треугольников выражается через боковую сторону $c$ и угол $60^\circ$:

   $$h = c \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} c$$

4. Найдем отрезок на большем основании $a$, прилегающий к боковой стороне: В прямоугольном треугольнике у основания трапеции отрезок на основании $a$, прилегающий к боковой стороне, можно найти как

   $$x = c \cos 60^\circ = \frac{1}{2} c$$

   Так как таких отрезков два, то от большего основания отнимается $2x = c$, оставшаяся часть основания равна $a - c$.

5. Запишем выражение для меньшего основания: С учётом того, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

   $$a + b = 2c \Rightarrow b = 2c - a$$

6. Итоговый результат: Меньшее основание трапеции $b$ можно выразить как

   $$b = a - c$$