В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 13корень из 5 проведена плоскость, параллельная основанию. Найти площадь сечения, если боковое ребро пирамиды делится этой плоскостью в отношении 1:4 (считая от вершины пирамиды)

Для решения задачи рассмотрим несколько важных шагов.

1. Построение и описание пирамиды: У нас есть правильная четырёхугольная пирамида, основание которой — квадрат со стороной $13\sqrt{5}$. Площадь основания квадрата можно найти по формуле $S_{\text{осн}} = a^2$, где $a$ — сторона квадрата.

   $S_{\text{осн}} = (13\sqrt{5})^2 = 13^2 \times 5 = 169 \times 5 = 845$.

2. Математическое описание сечения: В задаче говорится, что существует плоскость, параллельная основанию пирамиды, которая делит боковое ребро пирамиды в отношении $1:4$. Это означает, что точка пересечения плоскости и бокового ребра находится на расстоянии от вершины пирамиды, равном $\frac{1}{5}$ от общей длины бокового ребра (так как в сумме это отношение составляет 5).

3. Масштаб сечения: Поскольку плоскость параллельна основанию и делит боковое ребро в отношении $1:4$, это сечение будет подобно основанию пирамиды. Подобие фигур гарантирует, что стороны сечения пропорциональны сторонам основания.

   Если длина бокового ребра делится в отношении $1:4$, то размер сечения будет пропорционален этому отношению. То есть все размеры сечения будут в $\frac{1}{5}$ раз меньше размеров основания.

4. Площадь сечения: Площадь сечения будет пропорциональна квадрату отношения соответствующих сторон. Если стороны сечения и основания пирамиды имеют отношение $\frac{1}{5}$, то площади сечения и основания будут иметь отношение $\left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{1}{25}$.

   Таким образом, площадь сечения равна:

   $$S_{\text{сеч}} = \frac{S_{\text{осн}}}{25} = \frac{845}{25} = 33,8$$

Ответ: Площадь сечения пирамиды будет $33,8$ единиц площади.