Дано: тетраэдр DABC, DB перпендикулярна ABC, AC=CB=AB. Найти: угол между CD и ABD.

Давай разберём эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Разметка и система координат

Удобно расположить треугольник $ABC$ в координатной плоскости, так как он равнобедренный и у нас есть условия перпендикулярности. Пусть $AB = AC = BC = a$ — это равнобедренный (в данном случае равносторонний) треугольник. Для простоты координаты задаём так:

Проверим:

• $AB = \sqrt{(\frac{a}{2} + \frac{a}{2})^2 + 0^2} = a$

• $AC = \sqrt{(-\frac{a}{2} - 0)^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2}a)^2} = a$

• $BC = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2} a)^2} = a$

✅ Всё верно.

Так как $DB \perp ABC$, удобно взять точку $D$ на оси $z$ через $B$:

где $h$ — произвольная высота (она в формуле не нужна, так как угол между прямыми зависит только от направлений векторов).

Шаг 2: Векторы

Нам нужно найти угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABD$ (или конкретно вектором $ABD$ — скорее всего подразумевается угол между прямой $CD$ и прямой $BD$)? Обычно "угол между CD и ABD" означает угол между прямой $CD$ и прямой $BD$ (ребро ABD).

Итак, определяем векторы:

Шаг 3: Косинус угла

Угол $\theta$ между векторами $\vec{CD}$ и $\vec{BD}$ определяется формулой: