В пирамиде DABC ребро AD перпендикулярно основанию, AD=4 корня из 3, AB=2, угол ABC - прямой, угол BAC=60 градусов,
M-середина отрезка DA. Найдите:
1) Площадь боковой площади поверхности пирамиды
2) Площадь сечения пирамиды плоскостью BMC
3) Угол между плоскостями MBC и ABC
4) Угол, между прямой BC и плоскостью ADC
Докажите, что плоскость MDC перпендикулярна плоскости ABD

Дано:

• Пирамида $DABC$, где $AD$ перпендикулярно основанию $ABC$.
• $AD = 4\sqrt{3}$, $AB = 2$, угол $ABC = 90^\circ$, угол $BAC = 60^\circ$, $M$ — середина отрезка $DA$.

1. Площадь боковой поверхности пирамиды

Для начала определим площади боковых граней пирамиды. Площадь боковой поверхности состоит из суммы площадей треугольников $ABD$, $ACD$ и $BCD$.

Площадь треугольника $ABD$:

• Это прямоугольный треугольник, так как угол $ABC = 90^\circ$.
• Основание треугольника $AB = 2$, высота $AD = 4\sqrt{3}$.
• Площадь: $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 2 \times 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.$$

Площадь треугольника $ACD$:

• Треугольник $ACD$ прямоугольный, так как $AD$ перпендикулярно основанию.
• Основание $AC$ можно найти по теореме Пифагора: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$$
• Площадь треугольника $ACD$ будет: $$S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times AD = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4\sqrt{3} = 12.$$

Площадь треугольника $BCD$:

• Треугольник $BCD$ также прямоугольный, так как $AD$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а значит, и линии, проходящие через точки $B$, $C$, и $D$, тоже будут перпендикулярны.
• Для нахождения площади нужно знать длину стороны $BC$. Поскольку $ABC$ — прямоугольный треугольник с углом $ABC = 90^\circ$, то по теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{2^2 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.$$
• Площадь треугольника $BCD$ будет: $$S_{BCD} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} = 12.$$