Дана правильная треугольная пирамида, где боковое ребро равно 10 см и составляет с плоскостью

Ответы на вопрос

Отвечает Даниленко Дима.

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

Дано:

Правильная треугольная пирамида (т.е. основание — правильный треугольник).
Боковое ребро $l = 10$ см.
Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha = 30^\circ$ .

Найти: объём пирамиды $V$ .

Шаг 1. Вспомним формулу объёма пирамиды

Объём правильной треугольной пирамиды рассчитывается как:

V = \frac{1}{3} S_\text{основания} \cdot h

где $h$ — высота пирамиды, проведённая от вершины к центру основания, а $S_\text{основания}$ — площадь треугольника основания.

Шаг 2. Найдём высоту пирамиды

Боковое ребро $l$ образует с плоскостью основания угол $\alpha = 30^\circ$ .

Если опустить перпендикуляр из вершины пирамиды на основание, получится высота $h$ . Тогда по определению угла между ребром и основанием:

\sin \alpha = \frac{h}{l} \implies h = l \cdot \sin \alpha

Подставим числа:

h = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot 0.5 = 5 \text{ см}

Шаг 3. Связь бокового ребра с длиной стороны основания

Для правильной треугольной пирамиды центр основания $O$ находится на пересечении медиан треугольника. Расстояние от вершины основания до центра основания (радиус вписанной окружности основания) обозначим $R$ .

Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен:

R = \frac{a}{2\sqrt{3}}

В нашей пирамиде боковое ребро соединяет вершину пирамиды $V$ с вершиной основания $A$ . По теореме Пифагора для треугольника $VOA$ (где $O$ — центр основания):

l^2 = h^2 + R^2

Подставим известные значения:

10^2 = 5^2 + \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^2

100 = 25 + \frac{a^2}{12} \implies \frac{a^2}{12} = 75 \implies a^2 = 900 \implies a = 30 \text{ см}

Шаг 4. Найдём площадь основания

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ :

S_\text{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 30^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 900 = 225 \sqrt{3} \text{ см}^2

Шаг 5. Найдём объём

Теперь подставим в формулу объёма:

V = \frac{1}{3} S_\text{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 225\sqrt{3} \cdot 5 = 375 \sqrt{3} \text{ см}^3

✅ Ответ

\boxed{375 \sqrt{3} \text{ см}^3}

Дана правильная треугольная пирамида, где боковое ребро равно 10 см и составляет с плоскостью основания угол в 30 градусов. Найти объём.