Правильная треугольная пирамида вписана в конус, образующая которого равна 10 и составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти объем пирамиды.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, нужно использовать несколько геометрических свойств и формул.

1. Геометрия конуса:

   • Образующая конуса $l = 10$.

   • Угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 60^\circ$.

2. Радиус основания конуса:
   У нас есть угол между образующей и основанием конуса. Для нахождения радиуса основания конуса $R$, можно использовать тригонометрическую связь:

   $$\tan(60^\circ) = \frac{R}{h}$$

   где $h$ — высота конуса, а $R$ — радиус основания. Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, можно выразить радиус через высоту:

   $$R = h \cdot \sqrt{3}$$

3. Высота конуса:
   Используем теорему Пифагора в треугольнике, который образуют радиус основания, высота и образующая конуса:

   $$l^2 = h^2 + R^2$$

   Подставим выражение для $R$:

   $$10^2 = h^2 + (h \cdot \sqrt{3})^2$$ $$100 = h^2 + 3h^2$$ $$100 = 4h^2$$ $$h^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad h = 5$$

4. Радиус основания:
   Теперь, зная $h = 5$, можем найти радиус основания конуса:

   $$R = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 8.66$$

5. Объем пирамиды:
   Теперь перейдем к самой пирамиде. Пирамида вписана в конус, и ее основание — правильный треугольник. Сторона основания правильного треугольника $a$ может быть выражена через радиус основания конуса. В правильной треугольной пирамиде высота проходит через центр основания, и основание является правильным треугольником. Сторона этого треугольника будет равна диаметру основания конуса, то есть:

   $$a = 2R = 2 \cdot 8.66 = 17.32$$

6. Площадь основания пирамиды:
   Площадь правильного треугольника с длиной стороны $a$ вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

   Подставим $a = 17.32$:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} (17.32)^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 300 \approx 129.9$$

7. Объем пирамиды:
   Объем пирамиды рассчитывается по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$$

   Подставим значения:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot 129.9 \cdot 5 \approx 216.5$$

Таким образом, объем пирамиды равен приблизительно 216.5 кубических единиц.