Вычисли длину хорды АВ, если она образует с диаметром окружности АС угол 45°, и радиус окружности равен 6. Длина хорды АВ равна
−−−−−√.

Для того чтобы найти длину хорды $AB$, образующей с диаметром $AC$ угол $45^\circ$, при радиусе окружности $R = 6$, можно воспользоваться тригонометрическими свойствами и формулами хорды.

Шаг 1: Построение и обозначения

1. Пусть $O$ — центр окружности.
2. Диаметр $AC$ проходит через центр $O$ и точку $C$ на окружности. Длина $AC$ равна $2R = 2 \times 6 = 12$.
3. Хорда $AB$ образует угол $\angle CAB = 45^\circ$.

Шаг 2: Формула длины хорды

Длину хорды $AB$ можно вычислить по формуле:

Здесь угол $\angle CAB = 45^\circ$, поэтому подставляем значения:

Шаг 3: Подстановка значений

1. Половина угла $\angle CAB$ равна $\frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$.
2. Подставляем значения в формулу: $$AB = 2 \cdot 6 \cdot \sin(22.5^\circ)$$

Шаг 4: Вычисление $\sin(22.5^\circ)$

Значение $\sin(22.5^\circ)$ можно выразить через корень из тригонометрической формулы:

Подставляем это значение в формулу и упрощаем результат, чтобы получить окончательное значение длины хорды $AB$.