1) Определите длину вектора АВ, если известны координаты точек А(-5;4) и В(3;-2). 2) В треугольнике с вершинами в точках А(-2;7), В(2;1) и С(-7;-5) определите косинус угла В. 3) Определите скалярное произведение векторов: а(-2;3) и в(4;-2). 4) Длины векторов а и б равны 12 и 7, а угол между ними 60 градусов. Найдите их скалярное произведение. 5) Найдите расстояние между точками М(6;-8) и К(-2;7). 6) Вектора а и в перпендикулярны. Найдите значение числа р, если а(-5;р), в(4;-10). 7) Найдите угол между векторами в(4;-7) и а(-14;-8). 8) Вычислите длину вектора а=(-2р+3с)-(-4р+2с), если даны координаты векторов р(-1;2), с(2;-3).

1) Длина вектора AB. \( A(-5;4), B(3;-2) \). \( \vec{AB} = (3 - (-5); -2 - 4) = (8; -6) \). \( |\vec{AB}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10 \).

2) Косинус угла B в треугольнике. \( A(-2;7), B(2;1), C(-7;-5) \). \( \vec{BA} = (-2-2; 7-1) = (-4; 6) \), \( \vec{BC} = (-7-2; -5-1) = (-9; -6) \). \( \cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} \). \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-4)(-9) + 6(-6) = 36 - 36 = 0 \). Значит \( \cos B = 0 \), \( \angle B = 90^\circ \).

3) Скалярное произведение векторов a(-2;3) и b(4;-2). \( \vec{a}(-2;3), \vec{b}(4;-2) \). \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = -8 - 6 = -14 \).

4) Скалярное произведение при длинах 12 и 7 и угле 60°. \( |\vec{a}|=12, |\vec{b}|=7, \angle = 60^\circ \). \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 84 \cdot 0.5 = 42 \).

5) Расстояние между точками M(6;-8) и K(-2;7). \( M(6;-8), K(-2;7) \). \( d = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (7 - (-8))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \).

6) Векторы a(-5; p) и b(4; -10) перпендикулярны. Найти p. \( \vec{a}(-5; p), \vec{b}(4; -10) \), перпендикулярны: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \). \( (-5) \cdot 4 + p \cdot (-10) = 0 \Rightarrow -20 -10p = 0 \Rightarrow p = -2 \).

7) Угол между векторами b(4;-7) и a(-14;-8). \( \vec{b}(4;-7), \vec{a}(-14;-8) \). \( \cos \varphi = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{b}| \cdot |\vec{a}|} \). \( \vec{b} \cdot \vec{a} = 4 \cdot (-14) + (-7) \cdot (-8) = -56 + 56 = 0 \Rightarrow \cos \varphi = 0, \varphi = 90^\circ \).

8) Длина вектора a = (-2p + 3c) - (-4p + 2c), где p(-1;2), c(2;-3). \( \vec{a} = (-2\vec{p} + 3\vec{c}) - (-4\vec{p} + 2\vec{c}) \), \( \vec{p}(-1;2), \vec{c}(2;-3) \). Упростим: \( \vec{a} = -2\vec{p} + 3\vec{c} + 4\vec{p} - 2\vec{c} = 2\vec{p} + \vec{c} \). \( 2\vec{p} = 2(-1;2) = (-2;4) \), \( \vec{c} = (2;-3) \). \( \vec{a} = (-2+2; 4-3) = (0;1) \). \( |\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \).

0 0 Пожаловаться