Докажите теорему о средней линии треугольника. Подробно.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Пусть дан треугольник \( ABC \). Точки \( D \) и \( E \) — середины сторон \( AB \) и \( AC \). Значит, отрезок \( DE \) — средняя линия треугольника.

Так как \( D \) — середина \( AB \), то \( AD = DB \), значит \( AB = 2AD \), поэтому \( \frac{AD}{AB}=\frac12 \).

Так как \( E \) — середина \( AC \), то \( AE = EC \), значит \( AC = 2AE \), поэтому \( \frac{AE}{AC}=\frac12 \).

Получаем:

\[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac12 \]

Угол \( A \) у треугольников \( ADE \) и \( ABC \) общий. Значит, треугольники \( ADE \) и \( ABC \) подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Из подобия следует, что соответствующие углы равны. Поэтому угол между \( AD \) и \( DE \) равен углу между \( AB \) и \( BC \). Так как \( AD \) лежит на прямой \( AB \), то отсюда получаем:

\[ DE \parallel BC \]

Также из подобия следует отношение соответствующих сторон:

\[ \frac{DE}{BC}=\frac12 \]

Значит:

\[ DE=\frac12 BC \]

Теорема доказана: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

0 0 Пожаловаться