Определите угол между векторами a и b, если известно, что
(a−b)^2+(a+2b)^2=20 и |a|=1, |b|=2.

Будем понимать \( (a-b)^2 \) как квадрат длины вектора: \( |a-b|^2 \).

Раскроем выражение:

\[ |a-b|^2+|a+2b|^2=20 \]

\[ (a^2-2ab+b^2)+(a^2+4ab+4b^2)=20 \]

Соберём подобные слагаемые:

\[ 2a^2+2ab+5b^2=20 \]

По условию \( |a|=1 \), значит \( a^2=1 \). Также \( |b|=2 \), значит \( b^2=4 \).

Подставим:

\[ 2\cdot1+2ab+5\cdot4=20 \]

\[ 2+2ab+20=20 \]

\[ 2ab=-2 \]

\[ ab=-1 \]

Скалярное произведение равно:

\[ ab=|a||b|\cos\varphi \]

Тогда:

\[ -1=1\cdot2\cos\varphi \]

\[ \cos\varphi=-\frac12 \]

Значит:

\[ \varphi=120^\circ \]

Ответ: угол между векторами равен \( 120^\circ \).

0 0 Пожаловаться