Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Точка пространства удалена от каждого стороны этого треугольника на 5 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Рассмотрим задачу, в которой нужно найти расстояние от точки в пространстве до плоскости треугольника, стороны которого составляют 13 см, 14 см и 15 см, а расстояние от этой точки до каждой стороны треугольника равно 5 см.

Шаг 1: Определим площадь треугольника

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$ треугольника:

Теперь подставим значения в формулу Герона:

где $a = 13$ см, $b = 14$ см и $c = 15$ см. Подставим эти значения:

Таким образом, площадь треугольника равна $84 \, \text{см}^2$.

Шаг 2: Найдем радиус описанной окружности треугольника

Формула для радиуса описанной окружности $R$ для треугольника с известной площадью $S$ и длинами сторон $a$, $b$, $c$ выражается как:

Подставим наши значения:

Шаг 3: Используем расстояние от точки до плоскости

Если точка в пространстве находится на постоянном расстоянии $d$ от каждой стороны треугольника, то расстояние от этой точки до плоскости треугольника равно высоте, опущенной на эту плоскость из точки, которая находится на расстоянии $d$ от сторон треугольника. Для этого используется формула:

где $d = 5$ см. Подставим наши значения:

Выполним вычисления:

1. $13 + 14 + 15 = 42$
2. $\frac{2 \cdot 84}{42} = 4$
3. $\frac{5}{8.125} \approx 0.6154$

Теперь окончательно найдем $h$:

Ответ

Расстояние от заданной точки до плоскости треугольника составляет примерно $2.46$ см.