В равнобедренную трапецию с углом при основании 150° и площадью 98 см² вписана окружность. Найти радиус.

Обозначим основания трапеции \(a\) и \(b\) (где \(b > a\)), боковую сторону \(c\), высоту \(h\), радиус вписанной окружности \(r\).

Так как трапеция равнобедренная и в неё вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(a + b = 2c\).

Угол при основании равен \(150^\circ\), значит острый угол между боковой стороной и основанием \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Тогда высота \(h = c \sin 30^\circ = \frac{c}{2}\).

Проекция боковой стороны на основание: \(c \cos 30^\circ = \frac{c\sqrt{3}}{2}\). Разность оснований: \(b - a = 2 \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = c\sqrt{3}\).

Решаем систему:
\(a + b = 2c\)
\(b - a = c\sqrt{3}\)

Складывая: \(2b = c(2 + \sqrt{3})\), откуда \(b = \frac{c(2 + \sqrt{3})}{2}\). Вычитая: \(2a = c(2 - \sqrt{3})\), \(a = \frac{c(2 - \sqrt{3})}{2}\).

Площадь трапеции \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{2c}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{c^2}{2}\).

По условию \(S = 98\), значит \(\frac{c^2}{2} = 98\), \(c^2 = 196\), \(c = 14\) см.

Высота \(h = \frac{c}{2} = 7\) см, а радиус вписанной окружности \(r = \frac{h}{2} = 3{,}5\) см.

Ответ: 3,5 см.

0 0 Пожаловаться