Известно, что в равнобедренную трапецию площадью 576 можно вписать окружность. Если расстояние между точками касания окружности боковых сторон равно 3, то радиус ее равен

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, учитывая площадь трапеции и расстояние между точками касания на боковых сторонах, следуем пошаговому решению.

Дано:

1. Площадь трапеции $S = 576$.
2. Расстояние между точками касания окружности боковых сторон $d = 3$.
3. В трапецию можно вписать окружность. Это означает, что сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон: $a + b = c + d$, где $a$ и $b$ — основания, $c$ и $d$ — боковые стороны.

Обозначим радиус вписанной окружности через $r$. Площадь трапеции выражается через радиус окружности и полупериметр $p$:

где $p$ — полупериметр трапеции:

Вывод формулы для радиуса

Поскольку трапеция равнобедренная, точки касания окружности делят боковые стороны на равные части, а расстояние между точками касания на боковых сторонах соответствует расстоянию между проекциями оснований. Тогда:

Подставим это в формулу площади и полупериметра:

Так как $b = a + 3$ (разница оснований равна $d$), выражаем:

Упростим полупериметр:

Подставляем в формулу площади:

С учетом равнобедренной трапеции и условия о касаниях, стороны связаны так, что равенство выполняется при определенных геометрических ограничениях. Из уравнения $b - a = 3$, площадь $S = 576$, а также равенств сумм сторон, находим $r$.

Решение уравнений:

Упростив, получаем радиус: