Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС соответственно в точках М и К, являющихся серединами этих сторон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудалены от прямой МК.

Пусть в треугольнике $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $BC$.

Так как $M$ и $K$ являются серединами двух сторон треугольника, то по свойству средней линии треугольника:

Рассмотрим высоту треугольника $ABC$, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. Обозначим ее длину через $h$.

Так как прямая $MK$ параллельна $AC$, она делит высоту из вершины $B$ пополам. Действительно, точки $M$ и $K$ находятся на серединах сторон $AB$ и $BC$, поэтому расстояние от $B$ до прямой $MK$ равно половине высоты:

Теперь рассмотрим вершины $A$ и $C$. Они лежат на прямой $AC$, которая параллельна $MK$. Расстояние между параллельными прямыми $AC$ и $MK$ также равно половине высоты:

Так как точки $A$ и $C$ лежат на прямой $AC$, получаем:

и

Таким образом,

Следовательно, все три вершины треугольника $ABC$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $MK$. Что и требовалось доказать.