Ось симметрии прямоугольника ABCD пересекает его стороны BC и AD в точках M и K соответственно. На стороне AB взята точка P, на стороне CD — точка T, причём PM || KT, PM = PK. а) Определите вид выпуклого четырёхугольника PMTK. б) Докажите, что расстояние от точки пересечения диагоналей четырёхугольника PMTK до точки C равно PK.

а) Четырёхугольник \(PMTK\) — ромб.

б) Доказательство. Пусть прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB = a\), \(AD = b\). Ось симметрии, пересекающая \(BC\) и \(AD\), — горизонтальная прямая через середины этих сторон, поэтому \(M\) — середина \(BC\), \(K\) — середина \(AD\). Введём координаты: \(A(0;0)\), \(B(a;0)\), \(C(a;b)\), \(D(0;b)\). Тогда \(M(a; b/2)\), \(K(0; b/2)\). Точка \(P(x;0)\) на \(AB\), \(T(x_T; b)\) на \(CD\).
Из \(PM \parallel KT\): векторы \((a-x; b/2)\) и \((x_T; b/2)\) коллинеарны, значит, \(a-x = x_T\).
Из \(PM = PK\): \((a-x)^2 + (b/2)^2 = x^2 + (b/2)^2 \Rightarrow (a-x)^2 = x^2 \Rightarrow a-x = x\) (так как \(x \ge 0\)), откуда \(x = a/2\). Тогда \(P\) — середина \(AB\), \(T\) — середина \(CD\).
Четырёхугольник \(PMTK\) соединяет середины всех сторон прямоугольника. По свойству средних линий это параллелограмм, а так как диагонали прямоугольника равны, все его стороны равны половине диагонали: \(PM = MT = TK = KP = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\). Значит, \(PMTK\) — ромб. Поскольку \(PK = PM\), треугольник \(PMK\) равносторонний, углы ромба \(60^\circ\) и \(120^\circ\).
Диагонали ромба \(PT\) и \(MK\) пересекаются в точке \(O\) — середине каждой. Координаты \(O(a/2; b/2)\). Точка \(C(a; b)\). Расстояние \(OC = \sqrt{(a-a/2)^2 + (b-b/2)^2} = \sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\). Но \(PK = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\). Следовательно, \(OC = PK\).

0 0 Пожаловаться