Точки A, B, C, D - не лежат в одной плоскости, точки K, L, M,N середины отрезков AD, DC, BC, AB. Найти градусную меру угла LMN если AC=BD=2LN (с решением).

Для того чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть четыре точки: A, B, C, D, которые не лежат в одной плоскости, и четыре точки K, L, M, N, которые являются серединами отрезков AD, DC, BC и AB соответственно.

Также известно, что $AC = BD = 2LN$, и нужно найти угол $\angle LMN$.

Шаг 1: Представление точек и отрезков

Пусть векторное пространство трёхмерное, так как точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Сначала обозначим координаты точек в пространстве:

• Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — четыре точки в трёхмерном пространстве.
• Точки $K$, $L$, $M$, $N$ — середины отрезков, поэтому их координаты можно выразить как средние координаты соответствующих отрезков.

Поскольку $K$ — середина отрезка $AD$, то координаты точки $K$ вычисляются как среднее арифметическое координат точек $A$ и $D$:

Аналогично:

Шаг 2: Условие $AC = BD = 2LN$

Из условия задачи нам известно, что длина отрезков $AC$ и $BD$ равна $2LN$. Рассмотрим это векторно.

• Вектор $\overrightarrow{AC} = C - A$, длина этого вектора равна $|C - A|$.
• Вектор $\overrightarrow{BD} = D - B$, длина этого вектора равна $|D - B|$.
• Вектор $\overrightarrow{LN} = N - L$, длина этого вектора равна $|N - L|$.

Из условия $AC = BD = 2LN$ получаем соотношение длин этих векторов.

Шаг 3: Угол $\angle LMN$

Теперь переходим к нахождению угла $\angle LMN$. Для этого нам нужно вычислить векторы $\overrightarrow{LM}$ и $\overrightarrow{MN}$:

• Вектор $\overrightarrow{LM} = M - L = \frac{B + C}{2} - \frac{A + B}{2} = \frac{C - A}{2}$.
• Вектор $\overrightarrow{MN} = N - M = \frac{C + D}{2} - \frac{B + C}{2} = \frac{D - B}{2}$.

Затем угол между этими векторами можно найти с помощью скалярного произведения:

Используем координаты векторов:

Тогда скалярное произведение: