В треугольнике ABC AC = BC, AB = 25, высота AH равна 24. Найдите cos A.

Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB = 25\) и равными сторонами \(AC = BC\). Высота \(AH = 24\) проведена к стороне \(BC\).

В прямоугольном треугольнике \(AHB\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)) гипотенуза \(AB = 25\), катет \(AH = 24\). По теореме Пифагора \(BH = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = 7\).

Пусть \(BC = x\), тогда \(HC = x - 7\). В прямоугольном треугольнике \(AHC\): \(AC = x\), \(AH = 24\), \(HC = x - 7\). По теореме Пифагора:

\[x^2 = 24^2 + (x - 7)^2\] \[x^2 = 576 + x^2 - 14x + 49\] \[14x = 625 \Rightarrow x = \frac{625}{14}.\]

Значит, \(AC = BC = \frac{625}{14}\).

По теореме косинусов для угла \(A\):

\[\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{AB^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{AB}{2 \cdot AC} = \frac{25}{2 \cdot \frac{625}{14}} = \frac{25 \cdot 14}{1250} = \frac{350}{1250} = \frac{7}{25} = 0{,}28.\]

Ответ: \(\cos A = \frac{7}{25} = 0{,}28\).

0 0 Пожаловаться