Через середину М катета прямоугольного треугольника АВС проведено прямую,КОТОРАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА КАТЕТУ И ПЕРЕСЕКАЕТ гипотенузу АС в точке N.Довести,что AN=NB.НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА AMN,если BN=8 см,угол NBC=60 град.

Пусть \(\triangle ABC\) прямоугольный, \(AC\) — гипотенуза. Точка \(M\) — середина одного катета. Через неё проведена прямая, параллельная другому катету, она пересекает \(AC\) в точке \(N\).

По теореме о средней линии треугольника точка \(N\) является серединой гипотенузы \(AC\). В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин, значит:

\[AN=BN=CN\]

То есть \(AN=BN\), что и требовалось доказать.

По условию \(BN=8\) см, значит \(AN=CN=8\) см и \(AC=16\) см. Так как \(\angle NBC=60^\circ\), треугольник \(BNC\) получается равносторонним, поэтому \(BC=8\) см.

Тогда второй катет:

\[AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{16^2-8^2}=\sqrt{256-64}=8\sqrt3\]

Треугольник \(AMN\) подобен исходному с коэффициентом \(\frac12\), поэтому его катеты равны \(4\) и \(4\sqrt3\). Площадь:

\[S_{AMN}=\frac12\cdot4\cdot4\sqrt3=8\sqrt3\]

Ответ: \(8\sqrt3\) см\(^2\).

0 0 Пожаловаться