Докажите, что радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями a и b, равен 1/2 √(ab).

Пусть основания равнобедренной трапеции равны \( a \) и \( b \), а боковая сторона равна \( c \).

Если в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:

\[a+b=c+c=2c\]

Значит,

\[c=\frac{a+b}{2}\]

Опустим высоту трапеции. Так как трапеция равнобедренная, разность оснований делится поровну, поэтому в прямоугольном треугольнике один катет равен \( \frac{a-b}{2} \), гипотенуза равна \( c \), а второй катет — высота \( h \).

По теореме Пифагора:

\[h^2=c^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\]

Подставим \( c=\frac{a+b}{2} \):

\[h^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\]

Используем разность квадратов:

\[h^2=ab\]

Значит,

\[h=\sqrt{ab}\]

Окружность касается двух оснований, поэтому расстояние между основаниями равно двум радиусам:

\[h=2r\]

Тогда

\[r=\frac{h}{2}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\]

Следовательно, радиус вписанной окружности равен \( \frac{1}{2}\sqrt{ab} \).

0 0 Пожаловаться