Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 8 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с основанием угол 60 градусов.

Диагональное сечение правильной четырёхугольной усечённой пирамиды — это равнобедренная трапеция. Её основания равны диагоналям квадратных оснований:

\[d_1=6\sqrt{2},\quad d_2=8\sqrt{2}\]

Найдём высоту усечённой пирамиды. Проекция бокового ребра на основание равна разности расстояний от центра квадрата до соответствующих вершин:

\[\frac{8\sqrt{2}}{2}-\frac{6\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\]

Боковое ребро образует с основанием угол \(60^\circ\), значит:

\[\tan 60^\circ=\frac{h}{\sqrt{2}}\]

\[h=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\]

Площадь диагонального сечения:

\[S=\frac{d_1+d_2}{2}\cdot h=\frac{6\sqrt{2}+8\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{6}\]

\[S=7\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=7\sqrt{12}=14\sqrt{3}\]

Ответ: \(14\sqrt{3}\) см.

0 0 Пожаловаться