Докажите, что если в четырёхугольник ABCD вписана окружность с центром в точке O, то угол AOB + угол COD = 180 градусов.

Пусть окружность, вписанная в четырёхугольник $ABCD$, касается сторон $AB, BC, CD, DA$. Центр этой окружности — точка $O$.

Так как окружность вписана в четырёхугольник, каждая сторона четырёхугольника является касательной к окружности. Значит, точка $O$ лежит на биссектрисах всех углов четырёхугольника. В частности,

Рассмотрим треугольник $AOB$. В нём сумма углов равна $180^\circ$, поэтому

Подставим выражения через углы четырёхугольника:

То есть

Аналогично рассмотрим треугольник $COD$. Так как $O$ лежит на биссектрисах углов $C$ и $D$, имеем

Следовательно,

то есть

Теперь сложим найденные равенства:

Получаем

Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$. Поэтому

Тогда

Следовательно,

Что и требовалось доказать.