Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме катетов.

Пусть дан острый угол $\alpha$ и отрезок длины $s$, равный сумме катетов.

Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$, в котором

Построение

1. Проведём луч $AD$.

2. На этом луче отложим отрезок

   $$AD=s.$$

3. В точке $A$ построим луч $AB$ так, чтобы

   $$\angle DAB=\alpha.$$

4. В точке $D$ построим луч $DB$, образующий с лучом $DA$ угол $45^\circ$, на той же стороне от прямой $AD$, где расположен луч $AB$.
   Угол $45^\circ$ строится делением прямого угла пополам.

5. Обозначим через $B$ точку пересечения лучей $AB$ и $DB$.

6. Из точки $B$ опустим перпендикуляр на прямую $AD$. Основание перпендикуляра обозначим $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

По построению

а точки $A,C,D$ лежат на одной прямой. Следовательно,

Кроме того,

так как лучи $AC$ и $AD$ совпадают.

Рассмотрим треугольник $BCD$. В нём угол при $C$ прямой, а угол при $D$ равен $45^\circ$. Значит, второй острый угол тоже равен $45^\circ$, поэтому треугольник $BCD$ равнобедренный:

Так как $C$ лежит между $A$ и $D$, имеем

Но $CD=BC$, следовательно,

А по построению $AD=s$. Поэтому

Значит, построенный треугольник имеет данный острый угол и заданную сумму катетов.