Постройте прямоугольный треугольник по сумме катета и гипотенузы и острому углу.

Пусть дано: сумма катета и гипотенузы равна отрезку $s$, а острый угол равен $\alpha$. Нужно построить прямоугольный треугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = \alpha$, катет $BC$, гипотенуза $AB$. По условию:

Построение удобно выполнить так.

1. Построим угол $\angle XAY = \alpha$.

2. На одной стороне угла, например на луче $AX$, отложим отрезок

3. Через точку $D$ проведём прямую, перпендикулярную к $AX$.

4. Построим биссектрису угла между лучом $AX$ и продолжением перпендикуляра через $D$ в нужную сторону так, чтобы получить точку пересечения с лучом $AY$. Обозначим эту точку через $B$.

5. Из точки $B$ опустим перпендикуляр на луч $AX$. Пусть основание перпендикуляра — точка $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Обоснование такое. Треугольник $ABC$ прямоугольный, так как $BC \perp AC$. Угол при вершине $A$ равен данному углу $\alpha$, потому что сторона $AB$ лежит на луче $AY$, а $AC$ — на луче $AX$.

Остаётся проверить условие о сумме катета и гипотенузы. Точка $D$ выбрана так, что $AD = s$. По построению получается, что

При этом из-за биссектрисы и перпендикулярности отрезок $CD$ оказывается равным гипотенузе $AB$, а $AC$ соответствует катету. Поэтому

Значит, построенный прямоугольный треугольник имеет данный острый угол и заданную сумму катета и гипотенузы.