Один из углов треугольника равен полусумме двух других, его стороны относятся как 1:2. Найдите величины углов треугольника.

Пусть один из углов треугольника равен $A$, а два других — $B$ и $C$.

По условию:

Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

Но $B+C=2A$, значит:

Теперь используем отношение сторон. Стороны треугольника относятся как синусы противолежащих углов (теорема синусов). Поэтому отношение двух сторон $1:2$ означает, что соответствующие им синусы углов тоже относятся как $1:2$.

Пусть два других угла — $B$ и $C$. Тогда:

Так как:

получаем:

Подставим:

или

Раскроем синус разности:

Тогда:

Умножим на 2:

Следовательно:

Тогда:

Итак, углы треугольника равны: