Высота конуса разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём конуса, если объём средней части равен 14.

Пусть объём всего конуса равен $V$.

Плоскости, проведённые через точки деления высоты, параллельны основанию, поэтому получаются подобные конусы. Объёмы подобных тел относятся как кубы их линейных размеров.

Высота всего конуса разделена на 3 равные части.

1. Верхний маленький конус имеет высоту $\frac13$ от высоты всего конуса, значит его объём:

2. Конус, который получается до второй точки деления (его высота $\frac23$ от всей высоты), имеет объём:

Средняя часть — это разность этих двух конусов:

По условию:

Найдём объём всего конуса:

Ответ: 54.