В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 15 м, а апофема — 17 м. Найдите площадь полной

Ответы на вопрос

Отвечает Кандаурова Анастасия.

В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат, а апофема является высотой боковой грани.

Дано:

Нужно найти площадь полной поверхности и объём.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания.

По теореме Пифагора:

l^2=h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2

Подставим значения:

17^2=15^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2

289=225+\left(\frac{a}{2}\right)^2

\left(\frac{a}{2}\right)^2=64

\frac{a}{2}=8

a=16

Сторона квадратного основания равна 16 м.

Основание — квадрат:

S_{\text{осн}}=a^2=16^2=256\text{ м}^2

Боковая поверхность состоит из четырёх одинаковых треугольников.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

S_{\text{бок}}=\frac{P\cdot l}{2}

где $P$ — периметр основания:

P=4a=4\cdot16=64\text{ м}

Тогда:

S_{\text{бок}}=\frac{64\cdot17}{2}=544\text{ м}^2

S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}

S_{\text{полн}}=256+544=800\text{ м}^2

Формула объёма пирамиды:

V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot h

Подставляем:

V=\frac13\cdot256\cdot15

V=256\cdot5=1280\text{ м}^3

Ответ:

\boxed{S_{\text{полной поверхности}=800\text{ м}^2}

\boxed{V=1280\text{ м}^3}

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 15 м, а апофема — 17 м. Найдите площадь полной поверхности и объём пирамиды.