Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 5. Тангенс двугранного угла при основании равен 4/3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Задача заключается в нахождении площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Для этого будем использовать данные задачи: апофема пирамиды равна 5, а тангенс двугранного угла при основании равен 4/3.

Шаг 1: Обозначения и основы

1. Пусть $h$ — высота пирамиды, $a$ — длина стороны квадрата основания.
2. Апофема пирамиды $ap = 5$ — это расстояние от вершины пирамиды до середины ребра основания по наклонной.
3. Тангенс двугранного угла при основании, обозначим его как $\tan \alpha = \frac{4}{3}$, где $\alpha$ — угол между боковой гранью и основанием.

Шаг 2: Введение в геометрию

Двугранный угол между боковой гранью и основанием можно рассматривать как угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Чтобы связать это с геометрией пирамиды, рассмотрим треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и половиной стороны основания.

Поскольку у нас правильная пирамида, то высота $h$ и апофема $ap = 5$ связаны между собой через треугольник, в котором одна из сторон является высотой треугольника, а другая — апофемой.

Шаг 3: Используем тангенс двугранного угла

Тангенс двугранного угла можно выразить через высоту пирамиды и радиус окружности, описанной вокруг основания. Напоминаю, что $\tan \alpha = \frac{4}{3}$ — это отношение высоты $h$ и половины стороны основания. Это позволяет найти необходимые значения.