Знайдіть основи трапеції якщо її середня лінія дорівнює 30 см а діагоналі діляться точки перетину у відношенні 3 до 7

Щоб знайти основи трапеції, скористаємося наступними відомими властивостями та формулами.

1. Середня лінія трапеції: Середня лінія трапеції є відрізком, що з'єднує середини бічних сторін і має довжину, яка дорівнює середньому арифметичному довжин основ трапеції. Тобто:

   $$m = \frac{a + b}{2}$$

   де:

   • $m$ — середня лінія трапеції,
   • $a$ і $b$ — довжини основ трапеції.

   За умовою, середня лінія $m = 30 \, \text{см}$. Отже, маємо рівняння:

   $$\frac{a + b}{2} = 30$$ $$a + b = 60 \, \text{см}.$$

2. Точка перетину діагоналей: Діагоналі трапеції перетинаються у точці, причому точка перетину ділить кожну з діагоналей у певному відношенні. Згідно з умовою задачі, точка перетину діагоналей ділить їх у відношенні 3:7, тобто відрізок на діагоналі з однієї сторони від точки перетину становить 3 частини, а з іншої — 7 частин.

   Відношення довжин відрізків, на які діагоналі діляться точкою перетину, також можна використати для визначення співвідношення між основами трапеції. Оскільки точки перетину діагоналей мають певний зв'язок з довжинами основ трапеції, використаємо це відношення, щоб знайти різницю між основами трапеції.

3. Визначення основ трапеції: Відношення 3:7 на діагоналях можна інтерпретувати так, що одна з основ трапеції буде коротшою за іншу в тому ж відношенні. Нехай $a$ — це коротша основа, а $b$ — довша. Тепер маємо систему рівнянь:

   $$a + b = 60$$ $$\frac{a}{b} = \frac{3}{7}.$$

4. Розв'язування системи рівнянь: З другого рівняння виразимо $a$ через $b$:

   $$a = \frac{3}{7}b.$$

   Підставимо це в перше рівняння:

   $$\frac{3}{7}b + b = 60.$$

   Приведемо до спільного знаменника:

   $$\frac{3}{7}b + \frac{7}{7}b = 60,$$ $$\frac{10}{7}b = 60.$$

   Тепер розв'язуємо для $b$:

   $$b = \frac{60 \times 7}{10} = 42.$$

   Підставимо $b = 42$ у рівняння для $a$:

   $$a = \frac{3}{7} \times 42 = 18.$$

Отже, довжини основ трапеції становлять:

• коротша основа $a = 18 \, \text{см}$,
• довша основа $b = 42 \, \text{см}$.

Таким чином, основи трапеції мають довжини 18 см і 42 см.