Дан куб abcda1b1c1d1 1)пересекаются ли пары прямых АА1 и ВВ1, АД и В1С1?Как они расположены?2)Являются ли прямые АС1 и СВ1 параллельными?Обоснуйте свой ответ

Решение:

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Рассмотрим пары прямых, чтобы ответить на вопросы.

1. Пересекаются ли пары прямых $AA_1$ и $BB_1$, $AD$ и $B_1C_1$? Как они расположены?

• $AA_1$ и $BB_1$: Эти прямые являются параллельными. Оба отрезка являются рёбрами куба, направленными вдоль вертикального направления (перпендикулярны основанию куба). Расстояние между ними постоянно, и они лежат в разных плоскостях основания ($AA_1$ проходит через вершину $A$, а $BB_1$ через вершину $B$).

  Ответ: $AA_1$ и $BB_1$ не пересекаются, они параллельны.

• $AD$ и $B_1C_1$: Прямая $AD$ — это горизонтальное ребро основания куба, лежащее в плоскости $ABCD$, а $B_1C_1$ — ребро верхней грани куба, лежащее в плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Эти прямые расположены в разных параллельных плоскостях (основание и верхняя грань куба). Поскольку они находятся в разных плоскостях и не пересекаются, то такие прямые называются скрещивающимися.

  Ответ: $AD$ и $B_1C_1$ не пересекаются, они скрещиваются.

2. Являются ли прямые $AC_1$ и $CB_1$ параллельными?

• Рассмотрим $AC_1$ и $CB_1$:

  • Прямая $AC_1$ соединяет вершины $A$ и $C_1$, которые лежат в разных плоскостях основания и верхней грани куба. Это диагональ куба.
  • Прямая $CB_1$ соединяет вершины $C$ и $B_1$, которые также лежат в разных плоскостях. Это другая диагональ куба.

  Для проверки параллельности двух прямых нужно определить, совпадают ли их направляющие векторы. Векторы направлений:

  • Для $AC_1$: из $A(0, 0, 0)$ в $C_1(1, 1, 1)$, направляющий вектор — $\vec{AC_1} = (1, 1, 1)$.
  • Для $CB_1$: из $C(1, 1, 0)$ в $B_1(0, 1, 1)$, направляющий вектор — $\vec{CB_1} = (-1, 0, 1)$.

  Векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{CB_1}$ не пропорциональны (проверка коэффициентов $\frac{1}{-1} \neq \frac{1}{0} \neq \frac{1}{1}$). Значит, прямые не параллельны.

  Ответ: $AC_1$ и $CB_1$ не являются параллельными.

Итог:

1. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, $AD$ и $B_1C_1$ скрещиваются.
2. Прямые $AC_1$