Продолжения сторон ab и cd четырехугольника abcd вписанного в окружность пересекаются в точке p. Градусная мера меньшей дуги окружности, стягиваемой хордой bc равно 30, а градусная мера большей дуги, стягиваемой хордой ad, равно 120. найдите градусную меру угла apd.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность. Продолжения его сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, и нам требуется найти угол $\angle APD$.

Даны следующие условия:

1. Градусная мера меньшей дуги, стягиваемой хордой $BC$, равна $30^\circ$.
2. Градусная мера большей дуги, стягиваемой хордой $AD$, равна $120^\circ$.

Решение:

1. Начнем с того, что вписанный четырехугольник обладает важным свойством: сумма противоположных углов такого четырехугольника равна $180^\circ$. Это следует из теоремы о вписанных четырехугольниках.

2. Рассмотрим дуги, на которые опираются углы четырехугольника. Угол между хордами, проведенными из точки на окружности, равен половине разности градусных мер дуг, на которые эти хорды опираются. Это позволит нам найти угол $\angle APD$ с использованием данной информации.

3. Обозначим:

   • Угол, опирающийся на дугу $BC$, как $\angle BAC$.
   • Угол, опирающийся на дугу $AD$, как $\angle ADC$.

4. Углы $\angle APB$ и $\angle CPD$ составляют внешний угол для четырехугольника $ABCD$, а значит, их мера будет равна половине разности дуг $AD$ и $BC$.

5. Так как дуга $BC$ равна $30^\circ$, а дуга $AD$ равна $120^\circ$, то для угла $\angle APD$ мы используем формулу:

   $$\angle APD = \frac{1}{2} \times (120^\circ - 30^\circ) = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$$

Таким образом, градусная мера угла $\angle APD$ равна $45^\circ$.