Точка О - центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника DEF (DF=EF). Найдите углы треугольника DEF, если угол DOE=116°. Сколько решений имеет задача?

Пусть треугольник $DEF$ равнобедренный, причём $DF=EF$. Значит, равны хорды $DF$ и $EF$, а значит, им соответствуют равные центральные углы:

Нам дано:

Так как хорды $DE$ и $EF$ равны (ведь $DF=EF$, то равные стороны треугольника являются равными хордами окружности), получаем:

Рассмотрим дуги окружности. Дуги $DE$ и $EF$, соответствующие этим центральным углам, имеют по $116^\circ$. Тогда оставшаяся дуга $DF$ равна:

Теперь найдём углы треугольника.

Угол при вершине $F$ — вписанный угол, который опирается на дугу $DE$, не содержащую точку $F$. Эта дуга равна $116^\circ$, поэтому:

Так как $DF=EF$, треугольник равнобедренный, и углы при основании равны:

Нужно учитывать, что равные стороны $DF$ и $EF$ лежат напротив углов $E$ и $D$. Значит:

Обозначим их за $x$. Тогда:

Следовательно:

Проверим через дуги: угол $E$ должен опираться на дугу $DF$, не содержащую $E$, то есть на дугу $128^\circ$:

Получилось противоречие, значит в рассуждении выше была допущена ошибка: равными являются хорды $DE$ и $EF$, а не $DF$ и $EF$. Условие $DF=EF$ означает, что равны хорды $DF$ и $EF$. Поэтому равны именно центральные углы:

А не $\angle DOE=\angle EOF$.

Так как:

и $\angle EOF=116^\circ$

0 0 Пожаловаться