В равнобокой трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла. Большее основание равно 22 см, боковая сторона 10 см.Найти площадь трапеции.

Рассмотрим задачу. Нам дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой:

• $AC$ является биссектрисой одного из острых углов;
• Большее основание $AB = 22$ см;
• Боковые стороны $AD = BC = 10$ см.

Нужно найти площадь трапеции.

Разберем задачу пошагово.

1. Основные свойства равнобокой трапеции: В равнобокой трапеции боковые стороны равны, и основания параллельны. Диагональ $AC$, будучи биссектрисой угла $DAB$, делит этот угол пополам, а также разбивает трапецию на два треугольника $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$.

2. Обозначим малое основание: Пусть меньшее основание трапеции равно $CD = x$. Основная цель — найти $x$, так как оно понадобится для вычисления площади.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$: Диагональ $AC$, будучи биссектрисой угла, делит противоположную сторону $AB$ на две части, пропорциональные прилежащим сторонам $AD$ и $CD$:

   $$\frac{AP}{PB} = \frac{AD}{CD},$$

   где $P$ — точка пересечения диагонали $AC$ с основанием $AB$.

   Подставляем данные:

   $$\frac{AP}{PB} = \frac{10}{x}.$$

   Поскольку $AB = AP + PB = 22$, то:

   $$AP = \frac{10}{10 + x} \cdot 22, \quad PB = \frac{x}{10 + x} \cdot 22.$$

4. Используем геометрические свойства для нахождения $x$: В треугольнике $\triangle ADC$ высота, проведенная из вершины $D$, опускается на основание $AC$. Из условия, что $AC$ — биссектриса, следует симметричное деление трапеции. Вычисления могут потребовать введения дополнительного отношения высоты.

   После вычислений $x$, формула площади определяется как:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h$$