Основание AD прямоугольной трапеции ABCD находится в плоскостиα, с которой боковая сторона AB (AB>CD) образует угол ∡BAB1=u°
Острый угол трапеции ∡BAD=b°.

Определи синус угла между плоскостью α и плоскостью трапеции и докажи, что величина угла не зависит от длины сторон трапеции.

Для решения задачи нужно найти синус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью трапеции $ABCD$, опираясь на данные об углах $\angle BAB_1 = u^\circ$ и $\angle BAD = b^\circ$. Также требуется доказать, что этот угол не зависит от длины сторон трапеции.

1. Введение в геометрическую ситуацию

• Плоскость $\alpha$ содержит основание $AD$ трапеции.
• Сторона $AB$ выходит из плоскости $\alpha$ под углом $u^\circ$, то есть направлена в пространстве и не лежит в $\alpha$.
• Угол $\angle BAD = b^\circ$ — острый угол между основаниями $AD$ и $AB$ в трапеции.

Требуется найти синус угла между:

• плоскостью $\alpha$ (в которой лежит $AD$);
• плоскостью трапеции $ABCD$ (задаваемой тремя точками $A$, $B$ и $D$).

2. Построение задачи

Для нахождения угла между двумя плоскостями воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Угол между плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами.
2. Нормальный вектор к плоскости трапеции можно получить как векторное произведение векторов, задающих эту плоскость: $$\vec{n}_{\text{трап}} = \vec{AB} \times \vec{AD}.$$
3. Нормальный вектор к плоскости $\alpha$ совпадает с направлением перпендикуляра к $\alpha$. Поскольку $\alpha$ содержит $AD$, то её нормальный вектор можно выбрать в виде $\vec{n}_\alpha = \vec{AB_1}$, где $B_1$ — проекция $B$ на $\alpha$.

Чтобы найти угол между плоскостями, вычислим косинус угла между их нормалями:

где $\phi$ — искомый угол между плоскостями. Соответственно, синус угла:

3. Выражение нормалей через заданные углы

(а) Построение нормального вектора $\vec{n}_\text{трап}$

Траектория точки $B$ в пространстве определяется наклоном $AB$ к плоскости $\alpha$. Пусть вектор $AB$ имеет длину $l$, тогда его координаты в пространстве:

где $\sin u$ и $\cos u$ связаны с углом наклона $u$.

С другой стороны, вектор $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому его можно представить как:

где $a$ — длина основания $AD$.

Нормальный вектор плоскости трапеции:

Рассчитаем векторное произведение: