В основании пирамиды лежит квадрат. Одно из боковых ребер равно стороне квадрата и перпендикулярно его плоскости. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее боковая поверхность равна S.
Ответ в задаче - корень из двух S

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

У нас есть пирамида, основание которой — квадрат. Одно из боковых рёбер пирамиды равно стороне квадрата и перпендикулярно плоскости квадрата. Нам нужно найти площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой поверхности равна $S$.

1. Обозначения и исходные данные:

• Пусть длина стороны квадрата, который является основанием пирамиды, равна $a$.
• Площадь основания квадрата: $A_{\text{осн}} = a^2$.
• Площадь боковой поверхности пирамиды равна $S$.

Боковая поверхность состоит из четырёх треугольных боковых граней, и каждая грань является равнобедренным треугольником. Так как одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию, то пирамида имеет симметричную структуру.

2. Свойства боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности $S$ — это сумма площадей четырёх треугольников. Каждый из этих треугольников имеет основание, равное стороне квадрата $a$, и высоту, которая будет равна высоте бокового ребра пирамиды, скажем, $h_{\text{бок}}$. Площадь одного треугольника будет $\frac{1}{2} \times a \times h_{\text{бок}}$. Площадь всей боковой поверхности:

3. Связь бокового ребра с высотой:

Так как одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно плоскости основания, оно является вертикальным и проходит через вершину пирамиды. Это боковое ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором одна из катетов — это половина стороны квадрата $\frac{a}{2}$, а второй катет — это высота пирамиды, скажем $h_{\text{пира}}$.

Тогда, по теореме Пифагора, длина бокового ребра $l$ будет:

4. Площадь полной поверхности:

Полная поверхность пирамиды — это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

Известно, что $S = 2 \times a \times h_{\text{бок}}$. С учетом этого, задача сводится к нахождению отношения между площадью основания и боковой поверхностью.

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды выражается как: