Докажите, что диагональ, соединяющая вершины острых углов параллелограмма, бОльшая.

Доказательство.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, в котором углы $A$ и $C$ острые, а углы $B$ и $D$ тупые.

Требуется доказать, что диагональ $AC$, соединяющая вершины острых углов, больше диагонали $BD$, соединяющей вершины тупых углов, то есть $AC>BD$.

Обозначим:

• $AB=a$, $AD=b$;

• $\angle BAD=\alpha$, где $0^\circ<\alpha<90^\circ$.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, $BC=AD=b$.

1. Найдём квадрат диагонали $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Соседние углы параллелограмма в сумме составляют $180^\circ$, поэтому

По теореме косинусов:

Так как $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$, получаем:

2. Найдём квадрат диагонали $BD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов:

Следовательно,

3. Сравним диагонали.

Вычтем второе равенство из первого:

Поскольку угол $\alpha$ острый, то $\cos\alpha>0$. Кроме того, длины сторон $a>0$ и $b>0$.

Значит,

Следовательно,

откуда

Так как длины диагоналей положительны, получаем:

Что и требовалось доказать.

Таким образом, в параллелограмме диагональ, соединяющая вершины острых углов, всегда больше диагонали, соединяющей вершины тупых углов.