В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см.Найдите: а)синус большего острого угла

Ответы на вопрос

Отвечает Тяско Юра.

Давай решим эту задачу поэтапно. Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с катетами $a = 12$ см и $b = 16$ см. Найдем гипотенузу $c$ с помощью теоремы Пифагора:

c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, \text{см}

Теперь, зная все стороны треугольника, можем находить синусы, косинусы и тангенсы острых углов.

Обозначим углы при катетах $a$ и $b$ как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Угол $\alpha$ – это угол напротив катета $a = 12$ см, а угол $\beta$ – напротив катета $b = 16$ см.

а) Синус большего острого угла треугольника

Поскольку катет $b = 16$ больше катета $a = 12$ , то угол $\beta$ будет больше, чем угол $\alpha$ .

Найдем $\sin \beta$ :

\sin \beta = \frac{b}{c} = \frac{16}{20} = 0.8

Ответ: синус большего острого угла равен 0.8.

б) Сумма синусов острых углов

Найдем $\sin \alpha$ :

\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{12}{20} = 0.6

Теперь суммируем синусы:

\sin \alpha + \sin \beta = 0.6 + 0.8 = 1.4

Ответ: сумма синусов острых углов равна 1.4.

в) Тангенс одного из острых углов

Выберем угол $\alpha$ . Найдем $\tan \alpha$ :

\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{12}{16} = 0.75

Ответ: тангенс одного из острых углов (угла $\alpha$ ) равен 0.75.

г) Произведение тангенсов острых углов

Найдем $\tan \beta$ :

\tan \beta = \frac{b}{a} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1.333

Теперь находим произведение тангенсов:

\tan \alpha \cdot \tan \beta = 0.75 \cdot \frac{4}{3} = 1

Ответ: произведение тангенсов острых углов равно 1.

д) Сумма квадратов синуса и косинуса каждого из острых углов

Для любого угла $\theta$ в прямоугольном треугольнике выполняется тождество:

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Следовательно, для угла $\alpha$ :

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

И для угла $\beta$ :

\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1

Ответ: сумма квадратов синуса и косинуса каждого из острых углов равна 1.

е) Произведение тангенса и котангенса каждого из острых углов

Вспомним, что $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ для любого угла $\theta$ , где $\tan \theta$ и $\cot \theta$ определены.

Для угла $\alpha$ :

\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1

И для угла $\beta$ :

\tan \beta \cdot \cot \beta = 1

Ответ: произведение тангенса и котангенса каждого из острых углов равно 1.