На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол AOB=120 градусов Длина меньшей дуги AB равна 67 . Найдите длину большой дуги AB

Для решения задачи, давайте разберем все шаги по порядку.

1. Дано:

   • Угол $\angle AOB = 120^\circ$.
   • Длина меньшей дуги $AB = 67$ единиц.

2. Понять геометрическую ситуацию: У нас есть окружность с центром в точке O, на которой отмечены точки A и B. Угол между радиусами OA и OB составляет 120 градусов. Поскольку угол между радиусами 120 градусов, то это означает, что дуга AB, которую мы рассматриваем, составляет 120 градусов из полного круга (360 градусов).

   Существует две дуги, образующиеся между точками A и B:

   • Меньшая дуга (на которой указана длина 67 единиц).
   • Большая дуга, которая является оставшейся частью окружности.

3. Вычисление длины всей окружности: Площадь всей окружности можно вычислить по формуле:

   $$L_{\text{окружности}} = 2 \pi r$$

   где $r$ — радиус окружности. Однако для нас важен не сам радиус, а соотношение между длинами дуг. Поскольку угол $\angle AOB = 120^\circ$, то эта дуга составляет $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ от всей окружности.

   Следовательно, длина меньшей дуги $AB$ — это $\frac{1}{3}$ от длины всей окружности.

4. Нахождение длины всей окружности: Пусть длина всей окружности — это $L$. Мы знаем, что меньшая дуга $AB$ составляет $\frac{1}{3}$ окружности, и её длина равна 67 единиц. Тогда:

   $$\frac{L}{3} = 67$$

   Из этого уравнения можно найти длину всей окружности:

   $$L = 67 \times 3 = 201$$

5. Нахождение длины большой дуги: Большая дуга составляет оставшуюся часть окружности. Поскольку окружность целиком — это 360 градусов, большая дуга будет иметь угол $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$. Это $\frac{240}{360} = \frac{2}{3}$ от всей окружности.

   Длина большой дуги будет:

   $$\frac{2}{3} \times L = \frac{2}{3} \times 201 = 134$$

Ответ: Длина большой дуги $AB$ равна 134 единиц.