На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=80∘. Длина меньшей дуги AB равна 58. Найдите длину большей дуги.

Для решения задачи о длине большей дуги AB необходимо использовать понятие окружности и ее геометрические свойства.

Дано:

• Угол $\angle AOB = 80^\circ$.
• Длина меньшей дуги $AB = 58$.

Нужно найти длину большей дуги $AB'$.

Решение:

1. Определим соотношение между углами и длинами дуг.
   В окружности дуги пропорциональны центральным углам, которые их опирают. Полный угол окружности равен $360^\circ$. Таким образом, дуги окружности тоже образуют полный круг.

   Угол $\angle AOB = 80^\circ$ соответствует меньшей дуге $AB$. Тогда оставшаяся часть окружности, которая образует большую дугу $AB'$, соответствует углу:

   $$360^\circ - 80^\circ = 280^\circ.$$

2. Соотношение дуг и углов.
   Отношение длины дуги к полной длине окружности равно отношению центрального угла этой дуги к $360^\circ$. Это можно записать в виде формулы:

   $$\frac{\text{длина дуги}}{\text{длина окружности}} = \frac{\text{угол дуги}}{360^\circ}.$$

   Таким образом, длина окружности $C$ связана с длиной меньшей дуги:

   $$\frac{58}{C} = \frac{80}{360}.$$

3. Вычислим длину окружности. Умножим обе части уравнения на $C$ и решим для $C$:

   $$58 = C \cdot \frac{80}{360}.$$ $$C = \frac{58 \cdot 360}{80}.$$ $$C = 261.$$

4. Найдем длину большей дуги.
   Длина большей дуги $AB'$ равна:

   $$AB' = C - \text{длина меньшей дуги}.$$

   Подставляем значения:

   $$AB' = 261 - 58 = 203.$$

Ответ:

Длина большей дуги $AB' = 203$.