. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.

Давайте решим задачу.

1. Обозначения и вводные данные:

   • ∠AOB = 66° — это центральный угол, соответствующий меньшей дуге $AB$.
   • Длина меньшей дуги $AB$ равна 99.

2. Свойства окружности:

   • Полная окружность соответствует углу $360^\circ$.
   • Если центральный угол равен $x^\circ$, то длина соответствующей дуги пропорциональна углу: $$\text{Длина дуги} = \frac{x}{360} \cdot \text{Длина окружности}.$$
   • Большая дуга $AB$ соответствует центральному углу: $$360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 66^\circ = 294^\circ.$$

3. Соотношение длин дуг:

   • Меньшая дуга соответствует углу $66^\circ$, а большая дуга — углу $294^\circ$. Их длины пропорциональны углам: $$\frac{\text{Длина меньшей дуги}}{\text{Длина большей дуги}} = \frac{66}{294}.$$

4. Находим длину большей дуги: Пусть длина большей дуги равна $L$. Тогда:

   $$\frac{99}{L} = \frac{66}{294}.$$

   Решаем это уравнение:

   $$L = \frac{99 \cdot 294}{66}.$$

   Сократим дробь:

   $$\frac{294}{66} = \frac{147}{33} = \frac{49}{11}.$$

   Теперь умножим:

   $$L = 99 \cdot \frac{49}{11} = 9 \cdot 49 = 441.$$

5. Ответ: Длина большей дуги равна $441$.