Докажите, что площадь равнобокой трапеции можно вычислить по формуле:

S = ½ l²sin2α,
где l — длина диагонали трапеции,
α — величина угла, образованного диагональю трапеции с её большим основанием.

Пусть большее основание равнобокой трапеции равно \(a\), меньшее основание — \(b\), высота — \(h\), диагональ — \(l\).

В равнобокой трапеции горизонтальная проекция диагонали на большее основание равна половине суммы оснований:

\[\frac{a+b}{2}\]

Если диагональ образует с большим основанием угол \(\alpha\), то в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(l\):

\[h=l\sin\alpha\]

а горизонтальная проекция диагонали равна:

\[l\cos\alpha\]

Значит,

\[\frac{a+b}{2}=l\cos\alpha\]

Площадь трапеции:

\[S=\frac{a+b}{2}\cdot h\]

Подставим найденные выражения:

\[S=l\cos\alpha\cdot l\sin\alpha=l^2\sin\alpha\cos\alpha\]

Так как \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), получаем:

\[S=\frac{1}{2}l^2\sin2\alpha\]

Формула доказана.

0 0 Пожаловаться