В ромб, который делится диагональю на два равносторонних треугольника, вписан круг. Найдите площадь круга, если сторона ромба равна 4.

Если диагональ делит ромб на два равносторонних треугольника, то угол ромба равен \(60^\circ\), а сторона ромба равна \(4\).

Площадь ромба:

\[S = a^2 \sin 60^\circ = 4^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\]

Радиус вписанной окружности находится по формуле \(S = pr\), где \(p\) — полупериметр. Периметр ромба равен \(16\), значит \(p = 8\).

\[r = \frac{S}{p} = \frac{8\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3}\]

Площадь круга:

\[S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot (\sqrt{3})^2 = 3\pi\]

Ответ: \(3\pi\).

0 0 Пожаловаться