В параллелограмме abcd отмечена точка m середина стороны ab. Известно что mc=md. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

Для того чтобы доказать, что данный параллелограмм является прямоугольником, нужно воспользоваться геометрическими свойствами параллелограмма и условием, что $MC = MD$, где точка $M$ — середина стороны $AB$.

1. Обозначения и предположения: Пусть параллелограмм $ABCD$, где $M$ — середина стороны $AB$. Это означает, что $AM = MB$. Также по условию задачи, $MC = MD$.

2. Использование вектора: Рассмотрим векторное представление точек параллелограмма. Пусть вектора $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ соответственно равны векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, тогда:

   • $\vec{B} = \vec{A} + \vec{a}$,
   • $\vec{D} = \vec{A} + \vec{b}$,
   • $\vec{C} = \vec{A} + \vec{a} + \vec{b}$.

   Точка $M$ — середина стороны $AB$, значит:

   • $\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{A} + (\vec{A} + \vec{a})}{2} = \vec{A} + \frac{\vec{a}}{2}$.

3. Используем условие $MC = MD$: Теперь воспользуемся условием, что $MC = MD$. Это означает, что расстояния от точки $M$ до точек $C$ и $D$ одинаковы, то есть:

   • $|\vec{C} - \vec{M}| = |\vec{D} - \vec{M}|$.

   Подставляем выражения для $\vec{C}$, $\vec{D}$ и $\vec{M}$:

   • $\vec{C} - \vec{M} = (\vec{A} + \vec{a} + \vec{b}) - (\vec{A} + \frac{\vec{a}}{2}) = \frac{\vec{a}}{2} + \vec{b}$