Как найти два катета, если известны площадь и периметр?

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\), площадь равна \(S\), а периметр равен \(P\).

По площади:

\[S=\frac{ab}{2}\]

Значит:

\[ab=2S\]

Периметр прямоугольного треугольника:

\[P=a+b+c\]

Гипотенуза:

\[c=\sqrt{a^2+b^2}\]

Удобно обозначить \(x=a+b\). Тогда:

\[c=P-x\]

По теореме Пифагора:

\[c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=x^2-4S\]

Получаем:

\[(P-x)^2=x^2-4S\]

Отсюда:

\[x=\frac{P^2+4S}{2P}\]

Теперь катеты \(a\) и \(b\) — это корни квадратного уравнения:

\[t^2-xt+2S=0\]

То есть:

\[a,b=\frac{x\pm\sqrt{x^2-8S}}{2}\]

Если под корнем получается отрицательное число, значит таких катетов с данными площадью и периметром не существует.

0 0 Пожаловаться