Точка находится на расстоянии 13 от центра шара. Длина касательной, проведенной к шару из этой точки, равна 12. Вычислите радиус шара и расстояние от точки до шара.

Для решения задачи нужно воспользоваться геометрическими соотношениями, которые возникают при касании окружности (или шара) и касательной.

Дано:

• Расстояние от точки до центра шара: $13$ (обозначим его $d$).
• Длина касательной: $12$ (обозначим её $t$).
• Радиус шара: $R$ (нужно найти).
• Расстояние от точки до поверхности шара: $h$ (нужно найти).

Касательная образует с линией, соединяющей точку с центром шара, прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Гипотенуза — расстояние от точки до центра шара ($d = 13$).
• Один катет — радиус шара ($R$).
• Другой катет — длина касательной ($t = 12$).

Используем теорему Пифагора:

Подставим известные значения:

Посчитаем:

Извлекаем корень:

Таким образом, радиус шара равен $5$.

Теперь найдем расстояние от точки до поверхности шара ($h$). Это расстояние $h$ равно разности между расстоянием от точки до центра ($d = 13$) и радиусом шара ($R = 5$):

Подставляем значения:

Ответ:

• Радиус шара: $5$.
• Расстояние от точки до поверхности шара: $8$.