.В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

В равнобедренной трапеции необходимо найти среднюю линию, используя данные задачи: угол $60^\circ$, боковая сторона 8 см, меньшее основание 7 см.

Решение:

1. Определение средней линии трапеции: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

   $$m = \frac{a + b}{2},$$

   где $a$ и $b$ — основания трапеции.

   Нам известно меньшее основание $a = 7$, но большее основание $b$ пока неизвестно.

2. Построение и свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренной трапеции высоты, проведённые из концов меньшего основания, делят трапецию на два прямоугольных треугольника и один прямоугольник. Угол при основании равен $60^\circ$, боковая сторона (она же гипотенуза треугольника) равна $8$ см.

3. Нахождение высоты трапеции: Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна $8$ см, а прилежащий угол равен $60^\circ$. Высота $h$ трапеции будет равна катету, противоположному углу $60^\circ$:

   $$h = 8 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}.$$

4. Нахождение длины проекции боковой стороны на основание: Другой катет прямоугольного треугольника, который является проекцией боковой стороны на основание, равен:

   $$x = 8 \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4.$$

5. Нахождение большего основания: Обозначим большее основание через $b$. Оно состоит из меньшего основания $a = 7$ и двух отрезков, равных проекции боковых сторон:

   $$b = a + 2x = 7 + 2 \cdot 4 = 15.$$

6. Вычисление средней линии: Подставим значения оснований в формулу средней линии:

   $$m = \frac{a + b}{2} = \frac{7 + 15}{2} = 11.$$

Ответ:

Средняя линия трапеции равна 11 см.