Высота, проведенная в ромбе из вершины тупого угла, образует со стороной ромба угол в 30°. Вычислить периметр ромба, если его меньшая диагональ равна 5,2 см.

Решение:

1. Дано:

   • Меньшая диагональ ромба $d_1 = 5,2 \, \text{см}$;
   • Угол между высотой и стороной ромба равен $30^\circ$;
   • Требуется найти периметр ромба.

2. Обозначения и вспомогательные рассуждения:

   • Пусть сторона ромба равна $a$, а высота, опущенная из вершины тупого угла, равна $h$.
   • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
   • Высота ромба $h$ образует с его стороной угол $30^\circ$, то есть $h = a \cdot \sin 30^\circ$.

   Так как $\sin 30^\circ = 0,5$, получаем:

   $$h = \frac{a}{2}.$$

3. Выражение высоты через меньшую диагональ: Высота ромба также пересекает меньшую диагональ, деля её пополам. Половина меньшей диагонали равна:

   $$\frac{d_1}{2} = \frac{5,2}{2} = 2,6 \, \text{см}.$$

   Треугольник, образованный высотой, половиной меньшей диагонали и стороной ромба, является прямоугольным. Для него по теореме Пифагора:

   $$a^2 = h^2 + \left(\frac{d_1}{2}\right)^2.$$

   Подставим $h = \frac{a}{2}$:

   $$a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(2,6\right)^2.$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2 = \frac{a^2}{4} + 6,76.$$

   Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дробей:

   $$4a^2 = a^2 + 27,04.$$

   Приведём подобные:

   $$3a^2 = 27,04.$$

   Разделим обе части на 3:

   $$a^2 = 9,0133\ldots.$$

   Найдём $a$:

   $$a = \sqrt{9,0133\ldots} \approx 3 \, \text{см}.$$

4. Вычисление периметра ромба: Периметр ромба равен сумме всех его сторон, то есть:

   $$P = 4a = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{см}.$$

Ответ:

Периметр ромба равен $12 \, \text{см}$.