В равнобедренной трапеции ABCD через вершину B проведена прямая, которая параллельна стороне CD и пересекает сторону AD в точке N.
Периметр треугольника ABN равен 27 см,
CB равно 6 см.
Вычисли периметр трапеции ABCD.

Для того чтобы найти периметр трапеции ABCD, давайте разберемся поэтапно:

1. Определение элементов трапеции и треугольника: У нас есть равнобедренная трапеция ABCD, где AB параллельно CD, и через вершину B проведена прямая, которая параллельна стороне CD и пересекает сторону AD в точке N. Нам известно, что периметр треугольника ABN равен 27 см, а длина отрезка CB составляет 6 см.

2. Используем информацию о периметре треугольника ABN: Периметр треугольника ABN — это сумма длин его сторон: AB + BN + AN. Из условия задачи мы знаем, что периметр треугольника равен 27 см, то есть:

   $$AB + BN + AN = 27 \, \text{см}$$

   При этом длина отрезка CB равна 6 см.

3. Связь длин сторон трапеции и треугольника: Поскольку прямая, проходящая через вершину B, параллельна стороне CD, то треугольник ABN подобен треугольнику ABC. Это значит, что отношения длин соответствующих сторон этих треугольников одинаковы. Например, отношение стороны AB к стороне AC будет равно отношению стороны AN к стороне AD.

4. Вычисление длин сторон трапеции: Если мы обозначим длину стороны AB как $x$, то сторона AD будет $x + 6$ (так как $CB = 6$ см). Также, зная, что сумма сторон треугольника ABN равна 27 см, мы можем выразить периметр трапеции, добавив к периметру треугольника ABN длину стороны CD (которая равна $2x$, так как трапеция равнобедренная).

5. Периметр трапеции: Периметр трапеции — это сумма длин всех её сторон: AB + BC + CD + DA. Таким образом, периметр трапеции будет равен:

   $$AB + BC + CD + DA = x + 6 + 2x + (x + 6)$$

   Упростим это выражение:

   $$4x + 12$$

6. Решение уравнения: Из условия периметра треугольника ABN мы знаем, что:

   $$AB + BN + AN = 27$$

   Из того, что треугольники ABN и ABC подобны, мы можем установить, что $BN = BC = 6$ см, и $AN = AB = x$. Таким образом, у нас получается:

   $$x + 6 + x = 27$$

   Упростим это уравнение:

   $$2x + 6 = 27$$ $$2x = 21$$ $$x = 10.5$$

7. Вычисление периметра трапеции: Теперь, зная, что $x = 10.5$, мы можем найти периметр трапеции:

   $$4x + 12 = 4(10.5) + 12 = 42 + 12 = 54 \, \text{см}$$

Таким образом, периметр трапеции ABCD равен 54 см.