Дан куб ABCD A1 B1 C1 D1. На рёбрах B1 A1 и A1 D1 соотвественно отмечены точки N и M так, что B1N : NA1 = 1 : 4; A1M :MD1 = 1 : 3. Определите косинус угла a между прямыми BN и AM, если ребро куба равняется 1 ед. изм.

Для решения данной задачи воспользуемся несколькими шагами геометрического анализа.

1. Нахождение координат точек N и M: Поскольку ребро куба равно 1, мы можем использовать это для определения координат точек N и M на рёбрах $B_1A_1$ и $A_1D_1$ соответственно. Если считать $A_1$ началом координат, то координаты $N$ будут $(0, 0, 0.8)$, поскольку $B_1N : NA_1 = 1 : 4$, а координаты $M$ будут $(0.75, 0, 0)$, так как $A_1M : MD_1 = 1 : 3$.

2. Определение векторов BN и AM: Чтобы найти угол между двумя прямыми, сначала найдем вектора, которые они определяют. Вектор $\vec{BN}$ начинается в точке $B(0, 1, 1)$ и заканчивается в точке $N(0, 0, 0.8)$, значит его координаты будут $\vec{BN} = (0 - 0, 0 - 1, 0.8 - 1) = (0, -1, -0.2)$. Аналогично, вектор $\vec{AM}$ начинается в $A_1(0, 0, 0)$ и заканчивается в $M(0.75, 0, 0)$, значит его координаты $\vec{AM} = (0.75 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (0.75, 0, 0)$.

3. Использование формулы для косинуса угла между векторами: Косинус угла между двумя векторами определяется как скалярное произведение этих векторов, деленное на произведение их модулей. Формула для косинуса угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выглядит так:

   $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$

   где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ - скалярное произведение векторов, $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ - их длины.

4. Вычисление косинуса угла: Подставим координаты наших векторов в формулу:

   • Скалярное произведение $\vec{BN} \cdot \vec{AM} = 0 \cdot 0.75 + (-1) \cdot 0 + (-0.2) \cdot 0 = 0$.
   • Длина вектора $\vec{BN} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-0.2)^2}$,
   • Длина вектора $\vec{AM} = \sqrt{0.75^2 + 0^2 + 0^2}$.

5. Подставляем значения и получаем результат: После вычисления длин векторов, подставляем их в формулу косинуса и вычисляем искомый косинус угла.

Произведем необходимые расчеты.

Косинус угла между прямыми BN и AM равен 0. Это означает, что угол между этими прямыми составляет 90°, то есть они перпендикулярны друг другу. ​​