Дан куб ABCDA1B1C1D1.
Найдите угол между прямыми A1C и DC1.​

Чтобы найти угол между прямыми $A_1C$ и $DC_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Анализ куба и координат вершин

Рассмотрим куб с длиной ребра $a$, его вершины задаются следующими координатами:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(a, 0, 0)$,
• $C(a, a, 0)$,
• $D(0, a, 0)$,
• $A_1(0, 0, a)$,
• $B_1(a, 0, a)$,
• $C_1(a, a, a)$,
• $D_1(0, a, a)$.

Прямые $A_1C$ и $DC_1$ соединяют точки:

• Прямая $A_1C$: проходит через $A_1(0, 0, a)$ и $C(a, a, 0)$.
• Прямая $DC_1$: проходит через $D(0, a, 0)$ и $C_1(a, a, a)$.

2. Направляющие векторы прямых

Теперь найдём направляющие векторы этих прямых:

• Для прямой $A_1C$: $$\vec{A_1C} = (a - 0, a - 0, 0 - a) = (a, a, -a).$$
• Для прямой $DC_1$: $$\vec{DC_1} = (a - 0, a - a, a - 0) = (a, 0, a).$$

3. Угол между векторами

Угол между векторами вычисляется по формуле:

где:

• $\vec{u} \cdot \vec{v}$ — скалярное произведение векторов,
• $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ — модули векторов.

Скалярное произведение:

Модули векторов: