В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро AA1 равно 15, а диагональ BD1 равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A1 и C. хелп люди

Рассмотрим задачу подробно и по шагам.

1. Анализ задачи и построение модели

   У нас есть правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Призма "правильная", значит её основания — квадраты $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые рёбра, такие как $AA_1$, перпендикулярны к основаниям и равны между собой. Введём обозначения:

   • $AA_1 = 15$ — высота призмы.
   • Диагональ $BD_1 = 17$.

   Нам нужно найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и $C$.

2. Нахождение стороны основания призмы

   Так как $BD_1 = 17$ — это диагональ, соединяющая вершины $B$ и $D_1$ (разные основания), эта диагональ проходит через одно боковое ребро и является гипотенузой прямоугольного треугольника $BDA_1$, у которого:

   • катет $BD$ — диагональ квадрата (основания),
   • катет $AA_1 = 15$ — высота призмы.

   Применим теорему Пифагора для треугольника $BDA_1$:

   $$BD_1^2 = BD^2 + AA_1^2.$$

   Подставим известные значения:

   $$17^2 = BD^2 + 15^2,$$ $$289 = BD^2 + 225,$$ $$BD^2 = 64,$$ $$BD = 8.$$

   Поскольку $BD$ — это диагональ квадрата основания, то по формуле для диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата, можем выразить $a$:

   $$a\sqrt{2} = 8,$$ $$a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}.$$

3. Нахождение площади сечения

   Сечение плоскостью $AAC$ представляет собой треугольник $AAC$.

   • У нас уже известна высота призмы $AA_1 = 15$.
   • Также найдена длина стороны основания $AC$, которая является диагональю квадрата $ABCD$:
   $$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8.$$

   Теперь у нас есть треугольник $AAC$ с основанием $AC = 8$ и высотой $AA_1 = 15$.

   Площадь треугольника $AAC$ вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высоту}.$$

   Подставим значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60.$$

4. Ответ

   Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и $C$, равна $60$.